本文來(lái)自微公眾號(hào)：返 （ID：fanpu2019），作者：張和持長(zhǎng)以來(lái)，人們將“數(shù)”等于“實(shí)數(shù)??。實(shí)數(shù)就同當(dāng)空烈日般，統(tǒng)治著個(gè)數(shù)學(xué)世界文藝復(fù)興時(shí)的代數(shù)學(xué)家了解方程，入了復(fù)數(shù)??但即便是數(shù)這樣自然構(gòu)造，也歷了幾百年才數(shù)學(xué)界所接。實(shí)數(shù)的地似乎是不可疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家驚訝地發(fā)現(xiàn)包含??的備域不一定??，還有能是??進(jìn)??。?就是星星，??更像是月：月亮固然夜空中最為亮的，也時(shí)蓋過(guò)群星的輝，但是星的存在也提著我們，這宇宙中有更遼遠(yuǎn)的空間待探索。上創(chuàng)造了整數(shù)其他都是人的工作?！? 利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)?進(jìn)數(shù)的其不是一個(gè)符，而是代表一個(gè)素?cái)?shù)。理數(shù)域可以充為實(shí)數(shù)域但是這種擴(kuò)并不是唯一。上面所說(shuō)進(jìn)數(shù)，就是對(duì)于任意素，都可以擴(kuò)為進(jìn)數(shù)域。數(shù)來(lái)自于有數(shù)的小數(shù)展，而進(jìn)數(shù)來(lái)有理數(shù)的進(jìn)開(kāi)。雖然小也有不同進(jìn)的寫(xiě)法，但這與進(jìn)數(shù)本上是不一樣：小數(shù)展開(kāi)認(rèn)的是逐次小，而進(jìn)展則默認(rèn)逐次“小”。我將在后文中釋這個(gè)問(wèn)題如下圖所示實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)地位是相同。實(shí)數(shù)和進(jìn)都包含有理，他們之間并列的關(guān)系次引入進(jìn)數(shù)是德國(guó)數(shù)學(xué)亨澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用了這種奇妙數(shù)字。如同默爾一樣，澤爾的原始作也很難讀。他的文章表于 1897 年，此時(shí)“域”的概才僅僅誕生 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定了域，它是個(gè)帶有加法乘法兩種運(yùn)的集合，也以寫(xiě)作，滿(mǎn)加法和乘法結(jié)合律加法乘法的交換加法和乘法有單位元（般把加法單元寫(xiě)作，乘單位元寫(xiě)作每個(gè)元都有法逆元，也是每個(gè)非零都有乘法逆，也就是乘對(duì)于加法滿(mǎn)分配律我們悉的有理數(shù)實(shí)數(shù)都是域韋伯之所以么定義，是把（就是模余類(lèi)，比如一周七天的數(shù)就是）也入進(jìn)來(lái)。如去掉乘法逆的條件，上定義就變成所謂的交換，最典型的子就是整數(shù)。數(shù)論的問(wèn)通常是關(guān)于，如果在中許非零元有法逆，就得了，這個(gè)構(gòu)叫作取的分域。由于很中得到的結(jié)都能直接套上（例如中項(xiàng)系數(shù)為的項(xiàng)式存在有根當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)根，所以我們常把它們放一起考慮。是這兩個(gè)對(duì)的性質(zhì)都很糟糕”。例，我們想要斷對(duì)于某一非零的，是有有理數(shù)解這看上去根無(wú)從下手。是如果想要斷有沒(méi)有實(shí)根，就很簡(jiǎn)了：只要中一個(gè)，就存實(shí)數(shù)解，反則不存在。如，那么就一個(gè)實(shí)數(shù)解但是如果，么對(duì)于任意數(shù)，都一定所以不存在數(shù)解。很顯，存在有理解，那就一存在實(shí)數(shù)解畢竟，但是過(guò)來(lái)并不一成立。那實(shí)解的存在性有理數(shù)解有助嗎？答案肯定的，為我們需要定希爾伯特符（是“或者，是“并且）：要解決理解的判斷題，需要對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)定希爾伯特符。這個(gè)定義樣初等，但稍微麻煩一，有興趣的者可以自行閱參考文獻(xiàn) [1]，我們之后不會(huì)涉這個(gè)定義本。重點(diǎn)在于這個(gè)定義是以直接計(jì)算，所以很方判斷。數(shù)學(xué)們證明了一驚人的定理存在有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)有都成立。個(gè)定理的確常方便，但提出了一個(gè)加深刻的問(wèn)：既然可以釋為判斷是有實(shí)數(shù)解，是否也對(duì)應(yīng)一個(gè)的擴(kuò)域而且當(dāng)且僅方程在這個(gè)中存在解呢如果的確如，那似乎我就能把有理解看作是這所有域中解“交集”。然，交集的法并不準(zhǔn)確就結(jié)論而言我們要尋找對(duì)應(yīng)的正是數(shù)域，這些有的和一起可以稱(chēng)為對(duì)的“局部域。而則是“體域”。上的定理其實(shí)在講局部與體的對(duì)應(yīng)。聽(tīng)起來(lái)似乎夷所思，明域變大了，從整體變成局部。要解這一點(diǎn)，我要先了解一幾何學(xué)。類(lèi)整數(shù)環(huán) ?與多項(xiàng)式環(huán)早抽象環(huán)論誕之前，數(shù)學(xué)們就注意到論與幾何的似之處。具來(lái)說(shuō)，與作環(huán)的性質(zhì)非相似，比如兩個(gè)環(huán)都能帶余除法，此它們都是幾里得整環(huán)這里是以為數(shù)的多項(xiàng)式，這個(gè)系數(shù)就算換成別域也會(huì)有很相似之處，是我們這里要用到一些析的方法，以復(fù)數(shù)最為便。順帶著它們的分式和也很相似就是指允許零多項(xiàng)式做法。的元可看作是上的純函數(shù)：它的分母在個(gè)點(diǎn)不一定不零，所以這函數(shù)會(huì)有趨無(wú)窮的極點(diǎn)但是這些點(diǎn)是離散的，容易處理。于而言，局顯然就是指中的任何一點(diǎn)。這些亞函數(shù)在任何附近能展開(kāi)洛朗級(jí)數(shù)，如同全純函（處處解析能在任何點(diǎn)開(kāi)成泰勒級(jí)一樣，只不洛朗級(jí)數(shù)允存在這樣的。例如，在附近，可以開(kāi)的形式。任何點(diǎn)處我都能定義亞函數(shù)的階為洛朗展開(kāi)最邊那一項(xiàng)的數(shù)。比如上這個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的階就。類(lèi)似的展也可以在中行。一般來(lái)對(duì)于某個(gè)有數(shù)，我們都將它寫(xiě)作的式，其中是不相同的素，是整數(shù)，正可負(fù)。定。我們有沒(méi)辦法把展開(kāi)類(lèi)似的形式？答案是肯的，你可以式化地對(duì)做展開(kāi)為什么以這樣寫(xiě)呢對(duì)于一般的數(shù)除法，商小數(shù)點(diǎn)后的字會(huì)越來(lái)越，因?yàn)槲覀?認(rèn)數(shù)字的位越靠后，其大小”就越，所以我們能寫(xiě)出這樣無(wú)窮小數(shù)。是要做出上這樣的展開(kāi)其實(shí)是默認(rèn)序列會(huì)越來(lái)“小”，我先寫(xiě)，這樣需要算，最整體移動(dòng)一。計(jì)算如下心的讀者會(huì)現(xiàn)，這樣的法之所以每步都能算出的一位數(shù)字依賴(lài)于是域個(gè)事實(shí)，所對(duì)于不是素的數(shù)，不是，也就不能樣展開(kāi)。這就算出了現(xiàn)完全依靠類(lèi)，我們得到這樣的展開(kāi)。對(duì)任意素，我們稱(chēng)這的展開(kāi)為進(jìn)開(kāi)。這樣的開(kāi)與小數(shù)的制表示非常似，這也也釋了它的名。但這純粹形式上的。們還需要解三個(gè)問(wèn)題：理函數(shù)在某的洛朗展開(kāi)然與“局部有關(guān)，但是理數(shù)在素?cái)?shù)的進(jìn)展開(kāi)為么也叫局部為什么也是局部？究竟怎么嚴(yán)格定進(jìn)展開(kāi)？也是說(shuō)，如何義？為什么局部？我們要把中的點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，樣才能知道對(duì)于來(lái)說(shuō)，究竟是什么思。為此我需要理想的念。對(duì)于一交換環(huán)，理是一個(gè)滿(mǎn)足下性質(zhì)的真集：對(duì)于加法封閉；，就是說(shuō)的元乘上任意中元之后，結(jié)仍在中。這定義原本是默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)域中素元解不成立而出的（這也為什么叫做想：一個(gè)非“理想”的集），代數(shù)何學(xué)家們卻到了它的幾意義。我們來(lái)表示中包的最小理想也就是說(shuō)由成的理想）這是一個(gè)極理想，也就說(shuō)，它不是何理想的真集。實(shí)際上對(duì)于中的任點(diǎn)，都是極理想。而反來(lái)，中的所極大理想，都形如。所的點(diǎn)與的極理想一一對(duì)。這樣我們能考慮的極理想，來(lái)當(dāng)它的點(diǎn)了，的極大理想是所有形如理想。這樣單的類(lèi)比其還不能稱(chēng)為幾何”。這等到格羅滕克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地出概型理論研究的代數(shù)何與研究的論才能真正一在一起。這套理論中環(huán)的素理想本文中不需這個(gè)概念）稱(chēng)為點(diǎn)，而大理想則是點(diǎn)。這套理需要更加艱的背景知識(shí)本文就不做紹了?？傊?上面我們用的洛朗展開(kāi)進(jìn)展開(kāi)，都對(duì)應(yīng)兩個(gè)環(huán)閉點(diǎn)。如果受這樣的設(shè)，你就會(huì)發(fā)“局部”的法沒(méi)什么問(wèn)。那么在中展開(kāi)，也就小數(shù)展開(kāi)，算什么呢？其實(shí)是對(duì)應(yīng)理函數(shù)在無(wú)遠(yuǎn)點(diǎn)的洛朗開(kāi)。如圖所img復(fù)平面上的任何點(diǎn)可以對(duì)應(yīng)于面上的某點(diǎn)只需要連接的頂端與復(fù)面上的點(diǎn)，段一定會(huì)交球面上的一。這樣就建了復(fù)平面與面（除了頂一點(diǎn)）的一對(duì)應(yīng)。而如在復(fù)平面上任何方向接無(wú)窮，轉(zhuǎn)換球面上，就定會(huì)逼近頂。這樣我們可以把這個(gè)面當(dāng)作是的充，稱(chēng)為黎球面，記作現(xiàn)在要對(duì)有函數(shù)在無(wú)窮點(diǎn)處做洛朗開(kāi)，其實(shí)就把里的有理數(shù)看作是是函數(shù)，然后處作洛朗展。也就是因這樣的類(lèi)似，我們上面義的判別式寫(xiě)作。定義了定義，我首先得知道什么。從邏上來(lái)說(shuō)，第個(gè)定義的應(yīng)是自然數(shù)，后才是, 但是這每一步怎么來(lái)的呢是由皮亞諾理定義的，就是從開(kāi)始規(guī)定每個(gè)數(shù)有一個(gè)后繼，所以可以用數(shù)學(xué)歸納。隨后我們得到，該怎辦呢？直觀看，定義整允許了負(fù)數(shù)存在。但是數(shù)究竟是什？比如說(shuō)，其實(shí)是，也以是。所以果要用來(lái)定的話(huà)，一個(gè)數(shù)實(shí)際上是的一個(gè)等價(jià)，也就是當(dāng)，我們規(guī)定價(jià)關(guān)系。這就可以定義所有等價(jià)類(lèi)成的集合。然是的子集因?yàn)樽匀粩?shù)當(dāng)于是這個(gè)價(jià)類(lèi)。類(lèi)似方法可以構(gòu)：因?yàn)樵试S數(shù)存在，而如果，就有所以我們定，其中當(dāng)時(shí)而整數(shù)也可等同于等價(jià)，所以也是子集。上面次擴(kuò)張，都允許了某種的運(yùn)算，然通過(guò)取等價(jià)的方式來(lái)構(gòu)的。那么是許了什么運(yùn)呢？答案是極限。從事諸葛亮的角來(lái)看，如下列的極限是但是現(xiàn)在我只有，所以們只能說(shuō)，個(gè)序列在中不收斂的。果讓所有像樣的序列都斂到一個(gè)數(shù)那想必就是。但并不是有序列都收，比如所以們需要對(duì)序加以限制，后取某種等類(lèi)。限制后序列被稱(chēng)為西列，定義下：對(duì)于有序列，滿(mǎn)足于任意，都在一個(gè)，使只要，就有直觀來(lái)看，是要求序列尾部擺動(dòng)趨。不難證明收斂于有理的序列都是西列，所以可以說(shuō)是中斂序列的自推廣。當(dāng)然個(gè)柯西列有能收斂于同個(gè)數(shù)，所以們還需要等關(guān)系當(dāng)且僅。這樣所有西列組成的合中的所有價(jià)類(lèi)就定義。所有的有數(shù)都等同于常數(shù)柯西列等價(jià)類(lèi)，所也是的子集這也可以解一個(gè)對(duì)外行言難以解答問(wèn)題。其實(shí)柯西列，而是柯西列。們的差是序，趨于，所兩個(gè)柯西列價(jià)。不過(guò)我要注意一點(diǎn)柯西列的定依賴(lài)于。當(dāng)這里的的定是平常意義的絕對(duì)值。對(duì)值表示兩數(shù)之間的距。在中，是來(lái)越小的。是我們看到在上面的進(jìn)開(kāi)中，越來(lái)小的卻是，就提示我們應(yīng)該更改這距離的定義我們暫且把種新距離稱(chēng)，稱(chēng)為進(jìn)度。我們需要大，就越小所以一個(gè)自的定義是。實(shí)底數(shù)不一要是，取任大于的數(shù)都以（他們決的柯西列是全一致的）之所以取只為了方便。然，距離并是隨便取的函數(shù)需要滿(mǎn)三條性質(zhì)才叫做度量函（這其實(shí)定了域上的范）：當(dāng)且僅；；，也就三角形法則兩邊之和不于第三邊。樣只要有距函數(shù)，就能義柯西列，能定義新的。這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為完備化因?yàn)槲覀兎Q(chēng)何柯西列都斂的域?yàn)橥?域?？偨Y(jié)一，就是說(shuō)的對(duì)值度量完化得到，而進(jìn)度量完備就定義為，是我們想要進(jìn)數(shù)域。我甚至可以對(duì)義類(lèi)似的距，得到的完化就是形式朗級(jí)數(shù)域和所謂形式洛級(jí)數(shù)，就是如一個(gè)洛朗數(shù)的表達(dá)式不過(guò)不用處收斂問(wèn)題。通過(guò)洛朗展，嵌入到這形式洛朗級(jí)域中作為子。的完備化過(guò)我們并不稱(chēng)為局部域這是別的原了，與本文關(guān)。我們可看到，這些入關(guān)系與進(jìn)非常相似。然任意給一度量就能定柯西列，那了絕對(duì)值和度量之外，有別的方法義距離嗎？案是沒(méi)有。中，任意一滿(mǎn)足上面三性質(zhì)的度量都等價(jià)于絕值或者是某進(jìn)度量。也是說(shuō)，以上們提到的就所有的完備方案了。我平常計(jì)算實(shí)的時(shí)候倒并會(huì)總是考慮西列，反而小數(shù)展開(kāi)更用；同樣，際計(jì)算進(jìn)數(shù)時(shí)候，更常進(jìn)展開(kāi)。運(yùn)以上構(gòu)造，們可以證明且僅當(dāng)方程中有解。所我們開(kāi)篇提的定理，就以表述為：中有解當(dāng)且當(dāng)其在所有中有解。我自然而然會(huì)，是不是任給一個(gè)多項(xiàng)方程，其存有理解的條都等同于存實(shí)數(shù)解和所進(jìn)數(shù)解？答是否定的，不少多項(xiàng)式成立這個(gè)結(jié)。這激發(fā)起數(shù)學(xué)家們的奇心：究竟些多項(xiàng)式有似的性質(zhì)呢我們把這個(gè)向稱(chēng)為局部 — 整體原則，直到今天它所催生的知識(shí)還在源不斷滋養(yǎng)著個(gè)數(shù)論的研。跟現(xiàn)實(shí)有么關(guān)系嗎？確，數(shù)論是離現(xiàn)實(shí)世界常遙遠(yuǎn)的一學(xué)科。近些來(lái)，有部分論被應(yīng)用于碼學(xué)。而要接應(yīng)用于物，以描述現(xiàn)世界，并被多數(shù)物理學(xué)所接受，這的工作目前不多。這從輯上其實(shí)是奇怪的。的備化只有和但為什么我今天的物理論全都是用其代數(shù)閉包述的呢？進(jìn)與實(shí)數(shù)從邏上講沒(méi)有任高下之分，們都可以做數(shù)，做積分大多數(shù)你能到的分析工，都能平等用到它們身。那為什么們生活在實(shí)世界，而不進(jìn)數(shù)世界呢還真有人想了這種可能。弦論中，掃過(guò)的世界是用一維復(fù)形（也就是曼面）描述，但是如果黎曼面換成進(jìn)幾何學(xué)中應(yīng)的概念，能創(chuàng)造出一弦論，稱(chēng)為弦論。目前看，這方面研究成果還于玩具階段不過(guò)，這并影響我們的奇心。畢竟我們仰望夜，只是因?yàn)?星很美麗。考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類(lèi)域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.