本文來自微信眾號：返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持久以來，人們將“數(shù)”等同“實數(shù)”??實數(shù)就如同當烈日一般，統(tǒng)著整個數(shù)學(xué)世。文藝復(fù)興時的代數(shù)學(xué)家為解方程，引入復(fù)數(shù)?。?但便是復(fù)數(shù)這樣然的構(gòu)造，也經(jīng)了幾百年才數(shù)學(xué)界所接受實數(shù)的地位似是不可置疑的到了 19 世紀末 20 世紀初，數(shù)學(xué)家驚訝地發(fā)現(xiàn)，含??的完備不一定是??還有可能是?進數(shù)??。?像是星星，??更像是月亮月亮固然是夜中最為明亮的也時常蓋過群的光輝，但是星的存在也提著我們，這個宙中有更加遼的空間等待探。上帝創(chuàng)造了數(shù)，其他都是類的工作?！? 利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）進數(shù)的引入機?進數(shù)的其不是一個符號而是代表某一素數(shù)。有理數(shù)可以擴充為實域，但是這種充并不是唯一。上面所說的數(shù)，就是指對任意素數(shù)，都以擴充為進數(shù)。實數(shù)來自于理數(shù)的小數(shù)展，而進數(shù)來自理數(shù)的進展開雖然小數(shù)也有同進制的寫法但是這與進數(shù)質(zhì)上是不一樣：小數(shù)展開默的是逐次變小而進展開則默逐次變“小”我們將在后文解釋這個問題如下圖所示，數(shù)與進數(shù)的地是相同的。實和進數(shù)都包含理數(shù)，他們之是并列的關(guān)系次引入進數(shù)的德國數(shù)學(xué)家亨爾（Kurt Hensel），而在他之前庫默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過了論衡奇妙的數(shù)字。同庫默爾一樣亨澤爾的原始作也很難讀懂他的文章發(fā)表 1897 年，此時“域”概念才僅僅誕了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，北史是個帶有加法和法兩種運算的合，也可以寫，滿足加法和法的結(jié)合律加和乘法的交換加法和乘法都單位元（一般加法單位元寫，乘法單位元作）每個元都加法逆元，也是每個非零元有乘法逆元，就是乘法對于法滿足分配律們熟悉的有理和實數(shù)都是域韋伯之所以這定義，是想把就是模剩余類比如說一周七的算數(shù)就是）納入進來。如去掉乘法逆元條件，上述定就變成了所謂交換環(huán)，最典的例子就是整環(huán)。數(shù)論的問通常是關(guān)于的如果在中允許零元有乘法逆就得到了，這構(gòu)造叫作取的式域。由于很中得到的結(jié)論能直接套到上例如中首項系為的多項式存有理根當且僅它存在整數(shù)根，所以我們通把它們放在一考慮。但是這個對象的性質(zhì)很“糟糕”。如，我們想要斷對于某一對零的，是否有理數(shù)解。這看去根本無從下。但是如果想判斷有沒有實根，就很簡單：只要中有一，就存在實數(shù)，反之則不存。假如，那么是一個實數(shù)解但是如果，那對于任意實數(shù)都一定，所以存在實數(shù)解。顯然，存在有數(shù)解，那就一存在實數(shù)解，竟，但是反過并不一定成立那實數(shù)解的存性對有理數(shù)解幫助嗎？答案肯定的，為此們需要定義希伯特符號（是或者”，是“且”）：要解有理解的判斷題，需要對于個素數(shù)定義希伯特符號。這定義同樣初等但是稍微麻煩些，有興趣的者可以自行查參考文獻 [1]，我們之后不會涉及這個定本身。重點在，這個定義是以直接計算的所以很方便判。數(shù)學(xué)家們證了一個驚人的理：存在有理解當且僅當對有都成立。這定理的確非常便，但它提出一個更加深刻問題：既然可解釋為判斷是有實數(shù)解，那否也對應(yīng)著一的擴域，而且且僅當方程在個域中存在解？如果的確如，那似乎我們能把有理數(shù)解作是這些所有中解的“交集。當然，交集說法并不準確就結(jié)論而言，們要尋找的對的正是進數(shù)域這些所有的和起，可以稱為應(yīng)的“局部域。而則是“整域”。上面的理其實是在講部與整體的對。這聽起來似匪夷所思，明域變大了，卻整體變成了局。要解釋這一，我們要先了一些幾何學(xué)。比整數(shù)環(huán) ?與多項式環(huán)早在象環(huán)論誕生之，數(shù)學(xué)家們就意到數(shù)論與幾的相似之處。體來說，與作環(huán)的性質(zhì)非常似，比如這兩環(huán)都能做帶余法，因此它們是歐幾里得整。這里是以為數(shù)的多項式環(huán)這個系數(shù)域就換成別的域也有很多相似之，但是我們這需要用到一些析的方法，所復(fù)數(shù)最為方便順帶著，它們分式域和也很似。就是指允非零多項式做法。的元可以作是上的亞純數(shù)：它們的分在個別點不一不為零，所以些函數(shù)會有趨無窮的極點，是這些點都是散的，很容易理。對于而言局部顯然就是其中的任何一點。這些亞純數(shù)在任何點附能展開成洛朗數(shù)，就如同全函數(shù)（處處解）能在任何點開成泰勒級數(shù)樣，只不過洛級數(shù)允許存在樣的項。例如在點附近，可展開的形式。任何點處我們能定義亞純函的階為其洛朗開最左邊那一的次數(shù)。比如面這個函數(shù)在一點的階就是類似的展開也以在中進行。般來說對于某有理數(shù)，我們能將它寫作的式，其中是互相同的素數(shù)，整數(shù)，可正可。定義。我們沒有辦法把展成類似的形式？答案是肯定，你可以形式地對做進展開什么可以這樣呢？對于一般實數(shù)除法，商小數(shù)點后的數(shù)會越來越長，為我們默認數(shù)的位數(shù)越靠后其“大小”就小，所以我們能寫出這樣的窮小數(shù)。但是做出上面這樣展開，其實是認的序列會越越“小”，我先寫，這樣只要算，最后整移動一位。計如下細心的讀會發(fā)現(xiàn)，這樣除法之所以每步都能算出商一位數(shù)字，依于是域這個事，所以對于不素數(shù)的數(shù)，不域，也就不能樣展開。這樣算出了現(xiàn)在完依靠類比，我得到了這樣的開式。對任意數(shù)，我們稱這的展開為進展。這樣的展開小數(shù)的進制表非常相似，這也解釋了它的字。但這純粹形式上的。我還需要解釋三問題：有理函在某點的洛朗開顯然與“局”有關(guān)，但是理數(shù)在素數(shù)處進展開為什么叫局部？為什也是的局部？竟要怎么嚴格義進展開？也是說，如何定？為什么叫局？我們需要把的點與聯(lián)系起，這樣才能知，對于來說，究竟是什么意。為此我們需理想的概念。于一個交換環(huán)理想是一個滿以下性質(zhì)的真集：對于加減封閉；，也就說的元在乘上意中的元之后結(jié)果仍在中。個定義原本是默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域中元分解不成立提出的（這也為什么叫做理：一個非?！?想”的子集）代數(shù)幾何學(xué)家卻找到了它的何意義。我們來表示中包含最小理想（也是說由生成的想）。這是一極大理想，也是說，它不是何理想的真子。實際上，對中的任意點，是極大理想。反過來，中的有極大理想，都形如。所以點與的極大理一一對應(yīng)。這我們就能考慮極大理想，來作它的點了，的極大理想正所有形如的理。這樣簡單的比其實還不能為“幾何”。要等到格羅滕克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理，研究的代數(shù)何與研究的數(shù)才能真正統(tǒng)一一起。在這套論中，環(huán)的素想（本文中不要這個概念）稱為點，而極理想則是閉點這套理論需要加艱深的背景識，本文就不介紹了。總之上面我們用到洛朗展開和進開，都是對應(yīng)個環(huán)的閉點。果接受這樣的定，你就會發(fā)“局部”的說沒什么問題。么在中的展開也就是小數(shù)展，它算什么呢它其實是對應(yīng)理函數(shù)在無窮點的洛朗展開如圖所示img復(fù)平面上的任點都可以對應(yīng)球面上的某點只需要連接球頂端與復(fù)平面的點，線段一會交于球面上一點。這樣就立了復(fù)平面與面（除了頂端點）的一一對。而如果在復(fù)面上以任何方接近無窮，轉(zhuǎn)到球面上，就定會逼近頂點這樣我們就可把這個球面當是的擴充，稱黎曼球面，記。現(xiàn)在要對有函數(shù)在無窮遠處做洛朗展開其實就是把里有理函數(shù)看作是的函數(shù)，然在處作洛朗展。也就是因為樣的類似性，們上面定義的別式才寫作。義為了定義，們首先得知道什么。從邏輯來說，第一個義的應(yīng)該是自數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么來的呢是由皮亞諾公定義的，也就從開始，規(guī)定個數(shù)都有一個繼數(shù)，所以可使用數(shù)學(xué)歸納。隨后我們要到，該怎么辦？直觀來看，義整數(shù)允許了數(shù)的存在。但負數(shù)究竟是什？比如說，它實是，也可以。所以如果要來定義的話，個整數(shù)實際上中的一個等價，也就是當時我們規(guī)定等價系。這樣就可定義為所有等類構(gòu)成的集合當然是的子集因為自然數(shù)相于是這個等價。類似的方法以構(gòu)造：因為許分數(shù)存在，且如果，就有所以我們定義其中當時。而數(shù)也可以等同等價類，所以是的子集。上兩次擴張，都允許了某種新運算，然后通取等價類的方來構(gòu)造的。那是允許了什么算呢？答案是極限。從事后葛亮的角度來，如下序列的限是，但是現(xiàn)我們只有，所我們只能說，個序列在中是收斂的。如果所有像這樣的列都收斂到一數(shù)，那想必就了。但并不是有序列都收斂比如所以我們要對序列加以制，然后取某等價類。限制的序列被稱為西列，定義如：對于有理序，滿足對于任，都存在一個使得只要，就。直觀來看，是要求序列的部擺動趨于。難證明，收斂有理數(shù)的序列是柯西列，所這可以說是中斂序列的自然廣。當然兩個西列有可能收于同一個數(shù)，以我們還需要價關(guān)系當且僅。這樣所有柯列組成的集合的所有等價類定義為。所有有理數(shù)都等同是常數(shù)柯西列等價類，所以是的子集。這可以解釋一個外行而言難以答的問題。其是柯西列，而是柯西列。他的差是序列，于，所以兩個西列等價。不我們要注意一，柯西列的定依賴于。當然里的的定義是常意義上的絕值。絕對值表兩個數(shù)之間的離。在中，是來越小的。但我們看到，在面的進展開中越來越小的卻，這就提示我，應(yīng)該更改這距離的定義，們暫且把這種距離稱為，稱進度量。我們要越大，就越，所以一個自的定義是。其底數(shù)不一定要，取任何大于數(shù)都可以（他決定的柯西列完全一致的）之所以取只是了方便。當然距離并不是隨取的，函數(shù)需滿足三條性質(zhì)能叫做度量函（這其實定義域上的范數(shù)）當且僅當；；也就是三角形則，兩邊之和小于第三邊。樣只要有距離數(shù)，就能定義西列，就能定新的域。這個程被稱為完備，因為我們稱何柯西列都收的域為完備域總結(jié)一下，就說的絕對值度完備化得到，的進度量完備就定義為，就我們想要的進域。我們甚至以對定義類似距離，得到的備化就是形式朗級數(shù)域和。謂形式洛朗級，就是形如一洛朗級數(shù)的表式，不過不用理收斂問題。通過洛朗展開嵌入到這些形洛朗級數(shù)域中為子集。的完化不過我們并把稱為局部域這是別的原因，與本文無關(guān)我們可以看到這些嵌入關(guān)系進數(shù)非常相似既然任意給一度量就能定義西列，那除了對值和進度量外，還有別的法定義距離嗎答案是沒有。中，任意一個足上面三條性的度量，都等于絕對值或者某個進度量。就是說，以上們提到的就是有的完備化方了。我們平常算實數(shù)的時候并不會總是考柯西列，反而小數(shù)展開更常；同樣，實際算進數(shù)的時候更常用進展開運用以上構(gòu)造我們可以證明且僅當方程在有解。所以我開篇提到的定，就可以表述：在中有解當僅當其在所有中有解。我們然而然會問，不是任意給一多項式方程，存在有理解的件都等同于存實數(shù)解和所有數(shù)解？答案是定的，有不少項式不成立這結(jié)論。這激發(fā)了數(shù)學(xué)家們的奇心：究竟哪多項式有類似性質(zhì)呢？我們這個方向稱為部 — 整體原則，直到今天它所催生的新識還在源源不滋養(yǎng)著整個數(shù)的研究。跟現(xiàn)有什么關(guān)系嗎的確，數(shù)論是離現(xiàn)實世界非遙遠的一個學(xué)。近些年來，部分數(shù)論被應(yīng)于密碼學(xué)。而直接應(yīng)用于物，以描述現(xiàn)實界，并被大多物理學(xué)家所接，這樣的工作前還不多。這邏輯上其實是奇怪的。的完化只有和，但什么我們今天物理理論全都用及其代數(shù)閉描述的呢？進與實數(shù)從邏輯講沒有任何高之分，他們都以做導(dǎo)數(shù)，做分，大多數(shù)你想到的分析工，都能平等地到它們身上。為什么我們生在實數(shù)世界，不是進數(shù)世界？還真有人想了這種可能性弦論中，弦掃的世界面是用維復(fù)流形（也是黎曼面）描的，但是如果黎曼面換成是幾何學(xué)中對應(yīng)概念，也能創(chuàng)出一套弦論，為進弦論。目來看，這方面研究成果還處玩具階段。不，這并不影響們的好奇心。竟，我們仰望空，只是因為星很美麗。參文獻[1] 加藤和也，黑川重，齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.