本文來自微公眾號：返 （ID：fanpu2019），作者：張和持長以來，人們將“數(shù)”等于“實數(shù)??。實數(shù)就同當空烈日般，統(tǒng)治著個數(shù)學世界文藝復興時的代數(shù)學家了解方程，入了復數(shù)??但即便是數(shù)這樣自然構(gòu)造，也歷了幾百年才數(shù)學界所接。實數(shù)的地似乎是不可疑的。到了 19 世紀末 20 世紀初，數(shù)學家驚訝地發(fā)現(xiàn)包含??的備域不一定??，還有能是??進??。?就是星星，??更像是月：月亮固然夜空中最為亮的，也時蓋過群星的輝，但是星的存在也提著我們，這宇宙中有更遼遠的空間待探索。上創(chuàng)造了整數(shù)其他都是人的工作。— 利奧波德?克襪內(nèi)克（Leopold Kronecker）進數(shù)的引入動?進數(shù)的其不是一個符，而是代表一個素數(shù)。理數(shù)域可以充為實數(shù)域但是這種擴并不是唯一。上面所說進數(shù)，就是對于任意素，都可以擴為進數(shù)域。數(shù)來自于有數(shù)的小數(shù)展，而進數(shù)來有理數(shù)的進開。雖然小也有不同進的寫法，但這與進數(shù)本上是不一樣：小數(shù)展開認的是逐次小，而進展則默認逐次“小”。我將在后文中釋這個問題如下圖所示實數(shù)與進數(shù)地位是相同。實數(shù)和進都包含有理，他們之間并列的關(guān)系次引入進數(shù)是德國數(shù)學亨澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用了這種奇妙數(shù)字。如同默爾一樣，澤爾的原始作也很難讀。他的文章表于 1897 年，此時“黃鷔”的概才僅僅誕生 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定了域，它是個帶有加法乘法兩種運的集合，也以寫作，滿加法和乘法結(jié)合律加法乘法的交換加法和乘法有單位元（般把加法單元寫作，乘單位元寫作每個元都有法逆元，也是每個非零都有乘法逆，也就是乘對于加法滿分配律我們悉的有理數(shù)實數(shù)都是域韋伯之所以么定義，是把（就是模余類，比如一周七天的數(shù)就是）也入進來。如去掉乘法逆的條件，上定義就變成所謂的交換，最典型的子就是整數(shù)。數(shù)論的問通常是關(guān)于，如果在中許非零元有法逆，就得了，這個構(gòu)叫作取的分域。由于很中得到的結(jié)都能直接套上（例如中項系數(shù)為的項式存在有根當且僅當存在整數(shù)根，所以我們常把它們放一起考慮。是這兩個對的性質(zhì)都很糟糕”。例，我們想要斷對于某一非零的，是有有理數(shù)解這看上去根無從下手。是如果想要斷有沒有實根，就很簡了：只要中一個，就存實數(shù)解，反則不存在。如，那么就一個實數(shù)解但是如果，么對于任意數(shù)，都一定所以不存在數(shù)解。很顯，存在有理解，那就一存在實數(shù)解畢竟，但是過來并不一成立。那實解的存在性有理數(shù)解有助嗎？答案肯定的，為我們需要定希爾伯特符（是“或者，是“并且）：要解決理解的判斷題，需要對每個素數(shù)定希爾伯特符。這個定義樣初等，但稍微麻煩一，有興趣的者可以自行閱參考文獻 [1]，我們之后不會涉這個定義本。重點在于這個定義是以直接計算，所以很方判斷。數(shù)學們證明了一驚人的定理存在有理數(shù)當且僅當對有都成立。個定理的確常方便，但提出了一個加深刻的問：既然可以釋為判斷是有實數(shù)解，是否也對應一個的擴域而且當且僅方程在這個中存在解呢如果的確如，那似乎我就能把有理解看作是這所有域中解“交集”。然，交集的法并不準確就結(jié)論而言我們要尋找對應的正是數(shù)域，這些有的和一起可以稱為對的“局部域。而則是“體域”。上的定理其實在講局部與體的對應。聽起來似乎夷所思，明域變大了，從整體變成局部。要解這一點，我要先了解一幾何學。類整數(shù)環(huán) ?與多項式環(huán)早抽象環(huán)論誕之前，數(shù)學們就注意到論與幾何的似之處。具來說，與作環(huán)的性質(zhì)非相似，比如兩個環(huán)都能帶余除法，此它們都是幾里得整環(huán)這里是以為數(shù)的多項式，這個系數(shù)就算換成別域也會有很相似之處，是我們這里要用到一些析的方法，以復數(shù)最為便。順帶著它們的分式和也很相似就是指允許零多項式做法。的元可看作是上的純函數(shù)：它的分母在個點不一定不零，所以這函數(shù)會有趨無窮的極點但是這些點是離散的，容易處理。于而言，局顯然就是指中的任何一點。這些亞函數(shù)在任何附近能展開洛朗級數(shù)，如同全純函（處處解析能在任何點開成泰勒級一樣，只不洛朗級數(shù)允存在這樣的。例如，在附近，可以開的形式。任何點處我都能定義亞函數(shù)的階為洛朗展開最邊那一項的數(shù)。比如上這個函數(shù)在一點的階就。類似的展也可以在中行。一般來對于某個有數(shù)，我們都將它寫作的式，其中是不相同的素，是整數(shù)，正可負。定。我們有沒辦法把展開類似的形式？答案是肯的，你可以式化地對做展開為什么以這樣寫呢對于一般的數(shù)除法，商小數(shù)點后的字會越來越，因為我們認數(shù)字的位越靠后，其大小”就越，所以我們能寫出這樣無窮小數(shù)。是要做出上這樣的展開其實是默認序列會越來“小”，我先寫，這樣需要算，最整體移動一。計算如下心的讀者會現(xiàn)，這樣的法之所以每步都能算出的一位數(shù)字依賴于是域個事實，所對于不是素的數(shù)，不是，也就不能樣展開。這就算出了現(xiàn)完全依靠類，我們得到這樣的展開。對任意素，我們稱這的展開為進開。這樣的開與小數(shù)的制表示非常似，這也也釋了它的名。但這純粹形式上的。們還需要解三個問題：理函數(shù)在某的洛朗展開然與“局部有關(guān)，但是理數(shù)在素數(shù)的進展開為么也叫局部為什么也是局部？究竟怎么嚴格定進展開？也是說，如何義？為什么局部？我們要把中的點聯(lián)系起來，樣才能知道對于來說，究竟是什么思。為此我需要理想的念。對于一交換環(huán)，理是一個滿足下性質(zhì)的真集：對于加法封閉；，就是說的元乘上任意中元之后，結(jié)仍在中。這定義原本是默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)域中素元解不成立而出的（這也為什么叫做想：一個非“理想”的集），代數(shù)何學家們卻到了它的幾意義。我們來表示中包的最小理想也就是說由成的理想）這是一個極理想，也就說，它不是何理想的真集。實際上對于中的任點，都是極理想。而反來，中的所極大理想，都形如。所的點與的極理想一一對。這樣我們能考慮的極理想，來當它的點了，的極大理想是所有形如理想。這樣單的類比其還不能稱為幾何”。這等到格羅滕克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地出概型理論研究的代數(shù)何與研究的論才能真正一在一起。這套理論中環(huán)的素理想本文中不需這個概念）稱為點，而大理想則是點。這套理需要更加艱的背景知識本文就不做紹了?？傊?上面我們用的洛朗展開進展開，都對應兩個環(huán)閉點。如果受這樣的設，你就會發(fā)“局部”的法沒什么問。那么在中展開，也就小數(shù)展開，算什么呢？其實是對應理函數(shù)在無遠點的洛朗開。如圖所img復平面上的任何點可以對應于面上的某點只需要連接的頂端與復面上的點，段一定會交球面上的一。這樣就建了復平面與面（除了頂一點）的一對應。而如在復平面上任何方向接無窮，轉(zhuǎn)換球面上，就定會逼近頂。這樣我們可以把這個面當作是的充，稱為黎球面，記作現(xiàn)在要對有函數(shù)在無窮點處做洛朗開，其實就把里的有理數(shù)看作是是函數(shù)，然后處作洛朗展。也就是因這樣的類似，我們上面義的判別式寫作。定義了定義，我首先得知道什么。從邏上來說，第個定義的應是自然數(shù)，后才是, 但是這每一步怎么來的呢是由皮亞諾理定義的，就是從開始規(guī)定每個數(shù)有一個后繼，所以可以用數(shù)學歸納。隨后我們得到，該怎辦呢？直觀看，定義整允許了負數(shù)存在。但是數(shù)究竟是什？比如說，其實是，也以是。所以果要用來定的話，一個數(shù)實際上是的一個等價，也就是當，我們規(guī)定價關(guān)系。這就可以定義所有等價類成的集合。然是的子集因為自然數(shù)當于是這個價類。類似方法可以構(gòu)：因為允許數(shù)存在，而如果，就有所以我們定，其中當時而整數(shù)也可等同于等價，所以也是子集。上面次擴張，都允許了某種的運算，然通過取等價的方式來構(gòu)的。那么是許了什么運呢？答案是極限。從事諸葛亮的角來看，如下列的極限是但是現(xiàn)在我只有，所以們只能說，個序列在中不收斂的。果讓所有像樣的序列都斂到一個數(shù)那想必就是。但并不是有序列都收，比如所以們需要對序加以限制，后取某種等類。限制后序列被稱為西列，定義下：對于有序列，滿足于任意，都在一個，使只要，就有直觀來看，是要求序列尾部擺動趨。不難證明收斂于有理的序列都是西列，所以可以說是中斂序列的自推廣。當然個柯西列有能收斂于同個數(shù)，所以們還需要等關(guān)系當且僅。這樣所有西列組成的合中的所有價類就定義。所有的有數(shù)都等同于常數(shù)柯西列等價類，所也是的子集這也可以解一個對外行言難以解答問題。其實柯西列，而是柯西列。們的差是序，趨于，所兩個柯西列價。不過我要注意一點柯西列的定依賴于。當這里的的定是平常意義的絕對值。對值表示兩數(shù)之間的距。在中，是來越小的。是我們看到在上面的進開中，越來小的卻是，就提示我們應該更改這距離的定義我們暫且把種新距離稱，稱為進度。我們需要大，就越小所以一個自的定義是。實底數(shù)不一要是，取任大于的數(shù)都以（他們決的柯西列是全一致的）之所以取只為了方便。然，距離并是隨便取的函數(shù)需要滿三條性質(zhì)才叫做度量函（這其實定了域上的范）：當且僅；；，也就三角形法則兩邊之和不于第三邊。樣只要有距函數(shù)，就能義柯西列，能定義新的。這個過程稱為完備化因為我們稱何柯西列都斂的域為完域?？偨Y(jié)一，就是說的對值度量完化得到，而進度量完備就定義為，是我們想要進數(shù)域。我甚至可以對義類似的距，得到的完化就是形式朗級數(shù)域和所謂形式洛級數(shù)，就是如一個洛朗數(shù)的表達式不過不用處收斂問題。通過洛朗展，嵌入到這形式洛朗級域中作為子。的完備化過我們并不稱為局部域這是別的原了，與本文關(guān)。我們可看到，這些入關(guān)系與進非常相似。然任意給一度量就能定柯西列，那了絕對值和度量之外，有別的方法義距離嗎？案是沒有。中，任意一滿足上面三性質(zhì)的度量都等價于絕值或者是某進度量。也是說，以上們提到的就所有的完備方案了。我平常計算實的時候倒并會總是考慮西列，反而小數(shù)展開更用；同樣，際計算進數(shù)時候，更常進展開。運以上構(gòu)造，們可以證明且僅當方程中有解。所我們開篇提的定理，就以表述為：中有解當且當其在所有中有解。我自然而然會，是不是任給一個多項方程，其存有理解的條都等同于存實數(shù)解和所進數(shù)解？答是否定的，不少多項式成立這個結(jié)。這激發(fā)起數(shù)學家們的奇心：究竟些多項式有似的性質(zhì)呢我們把這個向稱為局部 — 整體原則，玃如到今天它所催生的知識還在源不斷滋養(yǎng)著個數(shù)論的研。跟現(xiàn)實有么關(guān)系嗎？確，數(shù)論是離現(xiàn)實世界常遙遠的一學科。近些來，有部分論被應用于碼學。而要接應用于物，以描述現(xiàn)世界，并被多數(shù)物理學所接受，這的工作目前不多。這從輯上其實是奇怪的。的備化只有和但為什么我今天的物理論全都是用其代數(shù)閉包述的呢？進與實數(shù)從邏上講沒有任高下之分，們都可以做數(shù)，做積分大多數(shù)你能到的分析工，都能平等用到它們身。那為什么們生活在實世界，而不進數(shù)世界呢還真有人想了這種可能。弦論中，掃過的世界是用一維復形（也就是曼面）描述，但是如果黎曼面換成進幾何學中應的概念，能創(chuàng)造出一弦論，稱為弦論。目前看，這方面研究成果還于玩具階段不過，這并影響我們的奇心。畢竟我們仰望夜，只是因為星很美麗。考文獻[1] 加藤和也，黑夔牛信重，藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.